Метрическое пространство - это совокупность всех элементов, именуемых множеством, между которыми существует определенное взаимодействие, выраженное в расстоянии.
Минимальной величиной взаимодействия является расстояние между двумя элементами множества.
Метрика пространства всегда константна по отношению к этому расстоянию. Что дает возможность вычислить коэффициент симплекса по отношению к действующим направляющим векторам.

Таковы физические свойства пространства, что  при переходе материи одной метрики в материю другой, происходит ее автоматическая перестройка под большее измерение. К примеру,  лист бумаги - это двухмерное плоское измерение, но в нашем трехмерном измерении он приобретает пусть незначительный третий вектор расширения.

В основе структуризации существования в пространстве организованной формы материи лежит принцип н-мерного симплекса.

Симплекс (от лат. simplex — простой) — простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n:

n = 3: трёхмерный симплекс представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр;
n = 2: под двумерным симплексом понимают произвольный треугольник;
n = 1: под одномерным — отрезок;
n = 0: нульмерный симплекс есть просто одна точка.

n- мерный симплекс имеет n + 1 вершину, в совокупности не принадлежащих ни к какому (n − 1)- мерному подпространству евклидова пространства (с числом измерений n или больше), в котором лежит данный симплекс. Любые r + 1 вершин, , взятые из числа данных n + 1 вершин n- мерного симплекса, определяют некоторый r- мерный симплекс — r- мерную грань данного симплекса. Нульмерные грани симплекса суть его вершины, одномерные грани называются ребрами.

Стандартный симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество , определяемое как:

Его вершинами являются точки:
e0=(1, 0, … 0)
e1=(0, 1, … 0)
…
en=(0, 0, … 1)

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин :

Значение ti для каждой точки i называется её барицентрическими координатами.

Комбинаторная топология

При исследованиях в комбинаторной топологии геометрические фигуры разбиваются на более элементарные фигуры. Проще всего составлять геометрические фигуры из симплексов, то есть в случае 3-мерного пространства — из точек, отрезков, треугольников и тетраэдров. В соответствии с этим чаще всего имеют дело с симплициальными комплексами.

Симплициальный комплекс — это конечное множество симплексов, расположенных в некотором евклидовом (или гильбертовом) пространстве и обладающих следующим свойством: два симплекса этого множества или не имеют ни одной общей точки, или совокупность всех их общих точек есть общая грань обоих симплексов. Если в комплексе имеется g-мерный симплекс и нет симплексов большего числа измерений, то комплекс называется g-мерным. Существуют конечные, счетные, клеточные, криволинейные и другие симплициальные комплексы. Обычно рассматривают лишь комплексы, удовлетворяющие следующему условию замкнутости: всякая грань симплекса, входящего в комплекс, также входит в этот комплекс. Множество, которое может быть представлено как (теоретико-множественная) сумма симплексов, образующих n-мepный комплекс, называется n-мepным полиэдром.